Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項的和S_n=n²+2n，數(shù)列{b_n}是正項等比數(shù)列，且滿足a₁=2b₁，b₃（a₃-a₁）=b₁，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）記c_n=$\frac{1}{3}{a_n}{b_n}$，求數(shù)列{c_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，即可求得a_n=2n+1，當(dāng)n=1時，a₁=S₁=3，成立，即可求得數(shù)列{a_n}通項公式，由b₁=$\frac{1}{2}$a₁=$\frac{3}{2}$，a₃-a₁=4，$\frac{{b}_{3}}{{b}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{3}-{a}_{1}}$=$\frac{1}{4}$，即可求得q=$\frac{1}{2}$，根據(jù)等比數(shù)列通項公式，即可求得數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）由c_n=$\frac{1}{3}{a_n}{b_n}$=（2n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，利用“錯位相減法”即可求得數(shù)列{c_n}的前n項和．

解答 解：（Ⅰ）數(shù)列{a_n}前n項的和S_n=n²+2n，
當(dāng)n≥2時，S_n-1=（n-1）²+2（n-1），
a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1，
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=3，成立，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2n+1，
∵數(shù)列{b_n}是正項等比數(shù)列，b₁=$\frac{1}{2}$a₁=$\frac{3}{2}$，a₃-a₁=4，
∴$\frac{{b}_{3}}{{b}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{3}-{a}_{1}}$=$\frac{1}{4}$，
∴公比為q=$\frac{1}{2}$，
數(shù)列{b_n}的通項公式為b_n=$\frac{3}{2}$•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=3•（$\frac{1}{2}$）ⁿ；
（Ⅱ）c_n=$\frac{1}{3}{a_n}{b_n}$=（2n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項的和為T_n，T_n=3•$\frac{1}{2}$+5•（$\frac{1}{2}$）²+…+（2n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$T_n=3•（$\frac{1}{2}$）²+5•（$\frac{1}{2}$）³+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ+（2n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
兩式相減得：（1-$\frac{1}{2}$）T_n=3•$\frac{1}{2}$+[（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ]-（2n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
$\frac{1}{2}$T_n=3•$\frac{1}{2}$+2[$\frac{（\frac{1}{2}）^{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n-1}]}{1-\frac{1}{2}}$]-（2n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
∴T_n=5-（2n+5）（$\frac{1}{2}$）ⁿ．
數(shù)列{c_n}的前n項和${T_n}=5-（2n+5）{（{\frac{1}{2}}）^n}$．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式，考查“錯位相減法”求數(shù)列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．