Question

18．已知函數f（x）為偶函數，且當x≤0時，f（x）=e^x-$\frac{1}{x-1}$，若f（-a）+f（a）≤2f（1），則實數a取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-1]∪[1，+∞）
• B． [-1，0]
• C． [0，1]
• D． [-1，1]

Answer 1

分析 利用偶函數的性質將不等式等價轉化，由基本初等函數和復合函數的單調性，判斷出f（x）在（-∞，0]上單調性，由偶函數的性質判斷出在[0，+∞）上的單調性，由單調性列出不等式，求出a的取值范圍．

解答 解：∵函數f（x）是定義在R上的偶函數，
∴不等式f（a）+f（-a）≤2f（1）等價為2f（a）≤2f（1），
即f（a）≤f（1），
∴等價為f（|a|）≤f（1），
∵當x≤0時，f（x）=e^x-$\frac{1}{x-1}$，
∴f（x）在區間（-∞，0]上單調遞增，
∴偶函數f（x）在區間[0，+∞）上單調遞減，
∴|a|≥1，即a≤-1或a≥1，
則實數a取值范圍是（-∞，-1]∪[1，+∞），
故選：A．

點評 本題考查了函數的奇偶性和單調性，基本初等函數的單調性，利用函數奇偶性的性質、單調性將不等式等價轉化是解題的關鍵，考查了函數思想、轉化思想．