Question

1．已知函數f（x）=log_a（x²-2ax）（a＞0且a≠1）滿足對任意的x₁，x₂∈[3，4]，且x₁≠x₂時，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞0成立，則實數a的取值范圍是（1，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 由已知可得函數f（x）=log_a（x²-2ax）（a＞0且a≠1）在[3，4]上為增函數，進而可得t=x²-2ax，x∈[3，4]為增函數，且恒為正，解得答案．

解答 解：∵對任意的x₁，x₂∈[3，4]，且x₁≠x₂時，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞0成立，
∴函數f（x）=log_a（x²-2ax）（a＞0且a≠1）在[3，4]上為增函數，
當a∈（0，1）時，y=log_at為減函數，t=x²-2ax，x∈[3，4]為增函數，
此時函數f（x）=log_a（x²-2ax）（a＞0且a≠1）不可能為增函數，
當a∈（1，+∞）時，y=log_at為增函數，
若函數f（x）=log_a（x²-2ax）（a＞0且a≠1）在[3，4]上為增函數，
則t=x²-2ax，x∈[3，4]為增函數，且恒為正，
即$\left\{\begin{array}{l}a＞1\\ a≤3\\ 9-6a＞0\end{array}\right.$，
解得：a∈（1，$\frac{3}{2}$），
故答案為：（1，$\frac{3}{2}$）

點評 本題考查的知識點是復合函數的單調性，函數恒成立問題，對數函數的圖象和性質，難度中檔．