Question

已知過球面上三點A、B、C的截面到球心的距離等于球半徑的一半，且AC=BC=6，AB=4，求球的表面積和體積．

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：空間位置關系與距離

分析：設出球的半徑，小圓半徑，通過已知條件求出兩個半徑，再求球的表面積．

解答： 解：如圖，設球的半徑為r，O′是△ABC的外心，外接圓半徑為R，
則OO′⊥面ABC．在Rt△ACD中，cosA=

2

6

=

1

3

，則sinA=

2 2

3

，
在△ABC中，由正弦定理得

6

sinA

=2R，R=

9 2

4

，即O′C=

9 2

4

．
在Rt△OCO′中，由題意得r²-

1

4

r²=

81×2

16

，得r=

3 6

2

．
球的表面積S=4πr²=4π×

9×6

4

=54π．
球的體積為

4

3

π(

3 6

2

)3=27

6

π．

點評：本題考查球面距離弦長問題球的表面積、體積的求法以及正弦定理的應用，考查學生分析問題解決問題能力，空間想象能力．