Question

1．存在θ∈R，使得關于θ的不等式cos2θ＞2mcosθ-4m+7成立，則實數m的取值范圍為（1，+∞）．

Answer 1

分析 根據已知條件，等價轉化成cos²θ-2mcosθ+4m-2＞0成立，然后，換元法t=cosθ，-1≤t≤1，分離變量m，求出函數的最小值，即可實數m的取值范圍．

解答 解：存在θ∈R，關于θ的不等式cos2θ＞2mcosθ-4m+7恒成立，
即2cos²θ-2mcosθ+4m-8＞0成立，即：cos²θ-mcosθ+2m-4＞0．由θ∈R，則-1≤cosθ≤1，
可得m＞$\frac{co{s}^{2}θ-4}{cosθ-2}$=cosθ+2．
cosθ+2∈[1，3]，
存在θ∈R，使得關于θ的不等式cos2θ＞2mcosθ-4m+7成立，
可得m＞1
故答案為：（1，+∞）．

點評 本題重點考查了三角公式、同角三角函數基本關系式中的平方關系，分離變量求解函數的最小值，考查轉化思想的應用．