Question

已知二次函數f（x）=ax（x-1）（a≠0）且其圖象的頂點恰好在函數y=log₂x的圖象上．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若函數h（x）=|f（x）|+m恰有兩個零點，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質,函數解析式的求解及常用方法,函數零點的判定定理

專題：函數的性質及應用

分析：（1）先求出函數的頂點，根據頂點在函數y=log₂x的圖象上，頂點-

a

4

=

log

1 2 2

，解出a的值，從而求出函數的表達式；
（2）根據f（x）的解析式，由函數圖象的對折變換得到函數y=|f（x）|的圖象，再由h（x）=|f（x）|+m恰有2個零點，則函數y=|f（x）|的圖象與直線y=-m有且只有兩個交點，數形結合得到m的取值范圍．

解答： 解：（1）設f（x）=ax（x-1）（a≠0），
頂點坐標為（

1

2

，-

a

4

），
∵頂點在函數y=log₂x的圖象上，
∴-

a

4

=

log

1 2 2

，解得a=4，
∴f（x）=4x²-4x．
（2）由（1）得：f（x）=4x（x-1），
則函數y=|f（x）|的圖象如下圖所示：

若h（x）=|f（x）|+m恰有2個零點，
則函數y=|f（x）|的圖象與直線y=-m有且只有兩個交點，
故-m＞1，或-m=0，
則m＜-1或m=0．

點評：本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，對數函數的圖象和性質，函數圖象的對折變換，函數的零點，是函數的綜合應用，難度中檔．