Question

7．已知數列{a_n}為等差數列，a₃=5，a₇=13，數列{b_n}的前n項和為S_n，且有S_n=2b_n-1，
（1）求{a_n}，{b_n}的通項公式．
（2）若{c_n}={$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}，{c_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件列出方程組求出數列的首項與公差，求解通項公式；由S_n=2b_n-1及S_n-1=2b_n-1-1求解數列{b_n}的通項公式．
（2）通過裂項法求解數列的前n項和即可．

解答 （12分）解：（1）因為{a_n}是等差數列，且a₃=5，a₇=13，設公差為d．
所以$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=5}\\{{a}_{1}+6d=13}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=2}\end{array}\right.$，
所以a_n=1+2（n-1）=2n-1（n∈N^*）．…（3分）
在{b_n}中，因為當n=1時，b₁=2b₁-1，所以b₁=1．
當n≥2時，由S_n=2b_n-1及S_n-1=2b_n-1-1可得b_n=2b_n-2b_n-1，所以b_n=2b_n-1．
所以{b_n}是首項為1公比為2的等比數列，所以b_n=2^n-1（n∈N^*）．…（6分）
（2）c_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），…（8分）
T_n=c₁+c₂+…+c_n
=$\frac{1}{2}$$[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$       …（10分）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）．（n∈N^*）．…（12分）

點評 本題考查等差數列以及等比數列的通項公式的求法，數列的遞推關系式的應用，考查計算能力．