Question

8．設集合A=B={（x，y）|x，y∈R}，f是A到B的一個映射，并滿足f：（x，y）→（-xy，x-y）
（1）A中的哪一個元素對應B中的元素（3，4）？
（2）試探索B中哪些元素可以由A中元素對應而得；
（3）求B中元素（a，b）在A中有且只有一個與它對應時，a，b滿足的關系式．

Answer 1

分析 （1）由題意得到-xy=3，x-y=4，從而能求出A中元素（3，-1）和（1，-3）對應B中的元素（3，4）．
（2）假設B中元素為（a，b），則-xy=a，x-y=b，從而x，-y為方程u²-bu+a=0的根，由此能求出只要B中的元素（a，b）滿足b²≥4a，則它在A中存在對應元素．
（3）假設B中元素為（a，b），由B中元素（a，b）在A中有且只有一個與它對應，得到△=b²-4a=0，從而a，b滿足的關系式為b²=4a．

解答 解：（1）∵集合A=B={（x，y）|x，y∈R}，f是A到B的一個映射，并滿足f：（x，y）→（-xy，x-y）
A中的元素（x，y）對應B中的元素（3，4），
∴-xy=3，x-y=4得：$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=-1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-3\end{array}\right.$，
故A中元素（3，-1）和（1，-3）對應B中的元素（3，4）；
（2）假設B中元素為（a，b），
則-xy=a，x-y=b
則x，-y為方程u²-bu+a=0的根，
∴△=b²-4a≥0，
∴只要B中的元素（a，b）滿足b²≥4a，則它在A中存在對應元素．
（3）假設B中元素為（a，b），
則-xy=a，x-y=b
則x，-y為方程u²-bu+a=0的根，
∵B中元素（a，b）在A中有且只有一個與它對應，
∴△=b²-4a=0，
∴a，b滿足的關系式為b²=4a．

點評 本題考查映射的性質及應用，涉及到函數性質、根的判別式等基礎知識，考查化歸與轉化思想，考查推理論證能力，運算求解能力，屬于中檔題．