Question

17．如圖是某組合體的三視圖，則內部幾何體的體積的最大值為（　　）

• A． $\frac{5}{2}（\sqrt{2}-1）π$
• B． $\frac{25}{4}（3-2\sqrt{2}）π$
• C． $25（3-2\sqrt{2}）π$
• D． $\frac{125}{6}（5\sqrt{2}-7）π$

Answer 1

分析 由題意畫出原幾何體，利用面積相等求得r=$\frac{ab}{a+b+5}$，由a²+b²=25借助于基本不等式求得0＜$\sqrt{ab}≤\frac{5\sqrt{2}}{2}$，r≤$\frac{ab}{2\sqrt{ab}+5}$，令t=$\sqrt{ab}$換元，利用導數求出$\frac{ab}{2\sqrt{ab}+5}$的最大值，代入球的體積公式得答案．

解答 解：由三視圖還原原幾何體如圖：

幾何體是底面為直角三角形的直三棱柱的內切球，內切球的半徑即為底面直角三角形內切圓的半徑，
由等面積法求得r=$\frac{ab}{a+b+5}$，且a²+b²=25．
由基本不等式得：r=$\frac{ab}{a+b+5}$≤$\frac{ab}{2\sqrt{ab}+5}$，
又0＜ab≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}=\frac{25}{2}$，即0＜$\sqrt{ab}≤\frac{5\sqrt{2}}{2}$，當且僅當a=b=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$時，等號成立．
令t=$\sqrt{ab}$，則r$≤\frac{{t}^{2}}{2t+5}$，
令f（t）=$\frac{{t}^{2}}{2t+5}$，f′（t）=$\frac{2t（t+5）}{（2t+5）^{2}}$＞0在（0，$\frac{5\sqrt{2}}{2}$]上成立，
∴f（t）=$\frac{{t}^{2}}{2t+5}$在（0，$\frac{5\sqrt{2}}{2}$]上為增函數，則${r}_{max}=f（\frac{5\sqrt{2}}{2}）=\frac{5}{2}（\sqrt{2}-1）$．
∴內切球體積的最大值為$\frac{4}{3}π•[\frac{5}{2}（\sqrt{2}-1）]^{3}$=$\frac{125}{6}（5\sqrt{2}-7）π$．
故選：D．

點評 本題考查由三視圖求幾何體的體積，訓練了利用導數研究函數的單調性，考查基本不等式在求解最值問題中的應用，屬難題．