Question

5．為了調查某大學學生在周日上網的時間，隨機對100名男生和100名女生進行了不記名的問卷調查，得到了如下的統計結果：表1：男生上網時間與頻數分布表

上網時間（分鐘）	[30，40）	[40，50）	[50，60）	[60，70）	[70，80]
人數	5	25	30	25	15

表2：女生上網時間與頻數分布表

上網時間（分鐘）	[30，40）	[40，50）	[50，60）	[60，70）	[70，80]
人數	10	20	40	20	10

（Ⅰ）若該大學共有女生750人，試估計其中上網時間不少于60分鐘的人數；
（Ⅱ）完成表3的2×2列聯表（此表應畫在答題卷上），并回答能否有90%的把握認為“學生周日上網時間與性別有關”？
（Ⅲ）從表3的男生中“上網時間少于60分鐘”和“上網時間不少于60分鐘”的人數中用分層抽樣的方法抽取一個容量為5的樣本，再從中任取兩人，求至少有一人上網時間超過60分鐘的概率．
表3：

	上網時間少于60分鐘	上網時間不少于60分鐘	合計
男生	60	40	100
女生	70	30	100
合計	130	70	200

附：k²=$\frac{n（ad-bc）}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d

P（K2≥k0）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.84	5.024	6.635	7.879	10.83

Answer 1

分析 （1）設估計上網時間不少于60分鐘的人數x，利用比例關系求出x的值；
（2）根據題目所給數據填寫列聯表，計算K²，對照臨界值得出結論；
（3）用列舉法求出基本事件數，計算所求的概率值．

解答 解：（1）設估計上網時間不少于60分鐘的人數x，
依據題意有$\frac{x}{750}$=$\frac{30}{100}$，解得：x=225，
所以估計其中上網時間不少于60分鐘的人數是225人； …（4分）
（2）根據題目所給數據得到如下列聯表：

	上網時間少于60分鐘	上網時間不少于60分鐘	合計
男生	60	40	100
女生	70	30	100
合計	130	70	200

其中K²=$\frac{200{×（60×3-40×70）}^{2}}{100×100×130×70}$=$\frac{200}{91}$≈2.198＜2.706，
因此，沒有90%的把握認為“學生周日上網時間與性別有關”；…（8分）
（3）因為上網時間少于60分鐘與上網時間不少于60分鐘的人數之比為3：2，
所以5人中上網時間少于60分鐘的有3人，記為A、B、C，
  上網時間不少于60分鐘的有2人，記為d、e，
從中任取兩人的所有基本事件為：
AB、AC、Ad、Ae、BC、Bd、Be、Cd、Ce、de共10種，
其中“至少有一人上網時間超過60分鐘”包含了7種，
故所求的概率為P=$\frac{7}{10}$．  …（12分）

點評 本題考查了獨立性檢驗和列舉法求古典概型的概率問題，是中檔題．