Question

13．某房產(chǎn)開(kāi)發(fā)商投資81萬(wàn)元建一座寫(xiě)字樓，第一年裝修費(fèi)為1萬(wàn)元，以后每年增加裝修費(fèi)2萬(wàn)元，現(xiàn)把寫(xiě)字樓出租，每年收入租金30萬(wàn)元．
（1）若扣除投資和各種裝修費(fèi)，則從第幾年開(kāi)始獲取純利潤(rùn)？
（2）若干年后開(kāi)發(fā)商為了投資其他項(xiàng)目，有兩種處理方案：
①年平均利潤(rùn)最大時(shí)，以50萬(wàn)元出售該樓；
②純利潤(rùn)總和最大時(shí)，以10萬(wàn)元出售該樓；
問(wèn)選擇哪種方案盈利更多？

Answer 1

分析 （1）設(shè)第n年獲取利潤(rùn)為y萬(wàn)元，n年共收入租金30n萬(wàn)元．付出裝修費(fèi)共n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²，付出投資81萬(wàn)元，由此可知利潤(rùn)y=30n-（81+n²），由y＞0能求出從第幾年開(kāi)始獲取純利潤(rùn)．
（2）①純利潤(rùn)總和最大時(shí)，以10萬(wàn)元出售，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大利潤(rùn)，方案②利用基本不等式進(jìn)行求解，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)第n年獲取利潤(rùn)為y萬(wàn)元
n年共收入租金30n萬(wàn)元，付出裝修費(fèi)構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，共n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²，
因此利潤(rùn)y=30n-（81+n²），令y＞0，
解得：3＜n＜27，
所以從第4年開(kāi)始獲取純利潤(rùn)．
（2）純利潤(rùn)y=30n-（81+n²）=-（n-15）²+144，
所以15年后共獲利潤(rùn)：144+10=154（萬(wàn)元）．
年平均利潤(rùn)W=$\frac{30n-（81+{n}^{2}）}{n}$=30-$\frac{81}{n}$-n≤30-2$\sqrt{81}$=12（當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{81}{n}$=n，即n=9時(shí)取等號(hào)）所以9年后共獲利潤(rùn)：12×9+50=158（萬(wàn)元）．
∵154＜158，方案②時(shí)間比較短，所以選擇方案②．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，同時(shí)考查了利基本不等式求函數(shù)的最值，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．