Question

19．有以下命題：①如果向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$與任何向量不能構成空間向量的一組基底，那么$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的關系是不共線；②O，A，B，C為空間四點，且向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$不構成空間的一個基底，那么點O，A，B，C一定共面；③已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$是空間的一個基底，則向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，也是空間的一個基底．其中正確的命題是②③．

Answer 1

分析 根據空間向量基底是三個不共面的向量，逐一分析三個命題的真假，可得答案．

解答 解：①如果向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$與任何向量不能構成空間向量的一組基底，那么$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的關系是共線，故錯誤；
②O，A，B，C為空間四點，且向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$不構成空間的一個基底，那么點O，A，B，C一定共面，故正確；
③已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$是空間的一個基底，則向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$不共面，則向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$也不共面，也是空間的一個基底，故正確．
故答案為：②③

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了空間基底的定義及性質，屬于基礎題．