Question

3．函數x²+y²=2，則3x+4y的最大值是5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 令z=3x+4y，可得直線的截距式方程，求出在y軸上的截距，當直線和圓x²+y²=2相切時，截距取得最值，z取得最值．根據直線和圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，求出z的值，從而得到z的最大值．

解答 解：令z=3x+4y，即y=-$\frac{3}{4}$+$\frac{z}{4}$，故直線y=-$\frac{3}{4}$+$\frac{z}{4}$在y軸上的截距為$\frac{z}{4}$，
故當直線y=-$\frac{3}{4}$+$\frac{z}{4}$在y軸上的截距最大時，z最大．
根據題意可得，當直線和圓x²+y²=2相切時，$\frac{z}{4}$取得最值．
由$\sqrt{2}$=$\frac{|0+0-z|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$可得z=±5$\sqrt{2}$，故z的最大值為5$\sqrt{2}$．
故答案為：$5\sqrt{2}$

點評 本題主要考查簡單的線性規劃問題，直線和圓相切的性質，點到直線的距離公式的應用，屬于中檔題．