Question

15．已知函數f（x）=log_a（x+4）-1（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點A，若直線$\frac{x}{m}+\frac{y}{n}=-2$（m，n＞0）也經過點A，則3m+n的最小值為（　　）

• A． 16
• B． 8
• C． 12
• D． 14

Answer 1

分析 求出函數f（x）的圖象恒過定點A的坐標，利用基本不等式的性質即可求解3m+n的最小值．

解答 解：由題意，函數f（x）=log_a（x+4）-1（a＞0且a≠1），
令x+4=1，可得x=-3，帶入可得y=-1
∴圖象恒過定點A（-3，-1）．
∵直線$\frac{x}{m}+\frac{y}{n}=-2$（m，n＞0）也經過點A，
∴$\frac{3}{m}+\frac{1}{n}=2$，即$\frac{3}{2m}+\frac{1}{2n}=1$．
那么：3m+n=（3m+n）（$\frac{3}{2m}+\frac{1}{2n}$）=$\frac{9}{2}+\frac{1}{2}+\frac{3n}{2m}+\frac{3m}{2n}$
≥2$\sqrt{\frac{3n}{2m}×\frac{3m}{2n}}$+5=8．（當且僅當n=m=2時，取等號）
∴3m+n的最小值為8．
故選B．

點評 本題考了對數函數的恒過定點的求法和基本不等式的運用．屬于中檔題．