Question

18．若（x+1）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…a_n（x-1）ⁿ，其中n∈N^*且a_n-2=112，a₀+a₁+a₂+a₃+…a_n=3⁸．

Answer 1

分析 利用二項展開式的通項公式，以及且a_n-2=112，求得n的值，再在所給的等式中，令x=2，可得a₀+a₁+a₂+a₃+…a_n的值．

解答 解：（x+1）ⁿ=[2+（x-1）]ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…a_n（x-1）ⁿ，
∵其中n∈N^*且a_n-2=${C}_{n}^{n-2}$•2²=${C}_{n}^{2}$•4=4•$\frac{n（n-1）}{2}$=112，∴n=8，
即（x+1）⁸=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…a₈（x-1）⁸，
令x=2，可得a₀+a₁+a₂+a₃+…a₈=3⁸，
故答案為：3⁸．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，是給變量賦值的問題，關鍵是根據要求的結果，選擇合適的數值代入，屬于基礎題．