Question

11．設f（x）是周期為4的偶函數，當x∈[0，2]時，f（x）=$\sqrt{3}$tan$\frac{πx}{6}$，若在區間（-2，6）內關于x的方程f（x）-ax-a=0恰有3個不同實數根，則正數a的取值范圍是（　　）

• A． （$\frac{3}{7}$，1）
• B． （$\frac{3}{4}$，1）
• C． （0，$\frac{3}{7}$）
• D． （0，$\frac{3}{4}$）

Answer 1

分析 由已知求出x∈[-2，0]的函數解析式，結合函數是周期為4的偶函數作出y=f（x）在（-2，6）內的圖象，直線y=ax+a恒過定點（-1，0），數形結合得答案．

解答 解：設x∈[-2，0]，則-x∈[0，2]，
∴f（-x）=$\sqrt{3}tan\frac{-πx}{6}$=$-\sqrt{3}tan\frac{πx}{6}$．
∵f（x）是偶函數，∴f（x）=$-\sqrt{3}tan\frac{πx}{6}$，x∈[-2，0]．
在區間（-2，6）內關于x的方程f（x）-ax-a=0恰有3個不同實數根，即f（x）=ax+a恰有3個不同實數根，
也就是函數y=f（x）的圖象與y=ax+a的圖象恰有3個不同的交點．
作出函數圖象如圖：

直線y=ax+a恒過定點（-1，0），經過兩點（-1，0）、（6，3）的直線的斜率為$\frac{3-0}{6-（-1）}=\frac{3}{7}$；
經過兩點（-1，0）、（2，3）的直線的斜率為$\frac{3-0}{2-（-1）}=1$．
∴若在區間（-2，6）內關于x的方程f（x）-ax-a=0恰有3個不同實數根，
則正數a的取值范圍是（$\frac{3}{7}，1$）．
故選：A．

點評 本題考查根的存在性及根的個數判斷，考查數學轉化思想方法與數形結合的解題思想方法，是中檔題．