Question

記f（P）為雙曲線 

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上一點P到它的兩條漸近線的距離之和；當P在雙曲線上移動時，總有f（P）≥b．則雙曲線的離心率的取值范圍是（　　）

• A、（1，

  5

  4

  ]
• B、（1，

  5

  3

  ]
• C、（1，2]
• D、（1，

  3

  ]

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,不等式的解法及應用,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設P（x，y），求出雙曲線的漸近線方程，運用點到直線的距離公式，及絕對值不等式的性質和雙曲線的范圍，即可得到f（P）≥

2ab

c

，再由不等式恒成立思想可得

2ab

c

≥b，由離心率公式即可得到范圍．

解答： 解：設P（x，y），
∵雙曲線 

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的漸近線為y=±

b

a

x，
∴f（P）=

|bx-ay|

a2+b2

+

|bx+ay|

a2+b2

≥

|2bx|

c

≥

2ab

c

，
∵f（P）≥b恒成立．
∴

2ab

c

≥b，
∴

c

a

≤2，
∴雙曲線的離心率的取值范圍是（1，2]．
故選：C．

點評：本題考查了雙曲線的標準方程及其性質、點到直線的距離公式、絕對值不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．