Question

20．直角三角形ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，點M是三角形ABC外接圓上任意一點，則$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AM}$的最大值為12．

Answer 1

分析 建立坐標系，設M （$\frac{3}{2}+\frac{5}{2}cosα，2+\frac{5}{2}sinα$），則 $\overrightarrow{AM}$=（$\frac{3}{2}+\frac{5}{2}cosα，2+\frac{5}{2}sinα$），$\overrightarrow{AB}=（3，0）$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AM}=\frac{9}{2}+\frac{15}{2}cosα≤12$

解答 解：如圖建立平面直角坐標系，A（0，0），B（3，0），C（0.4），
三角形ABC外接圓（x-$\frac{3}{2}$）²+（y-2）²=$\frac{25}{4}$，
設M （$\frac{3}{2}+\frac{5}{2}cosα，2+\frac{5}{2}sinα$），則 $\overrightarrow{AM}$=（$\frac{3}{2}+\frac{5}{2}cosα，2+\frac{5}{2}sinα$），$\overrightarrow{AB}=（3，0）$，
$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AM}=\frac{9}{2}+\frac{15}{2}cosα≤12$，
故答案為：12．

點評 本題考查了圓的參數方程、三角函數的單調性、數量積坐標運算，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題