Question

11．已知AB為單位圓O的一條弦，P為單位圓O上的點．若f（λ）=|$\overrightarrow{AP}$-λ$\overrightarrow{AB}$|（λ∈R）的最小值為m，當點P在單位圓上運動時，m的最大值為$\frac{4}{3}$，則線段AB的長度為$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 設λ$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AC}$，則f（λ）=|$\overrightarrow{AP}$-λ$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AP}$-$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{CP}$|，點C在直線AB上，故f（λ）的最小值M為點P到AB的距離，由此可得結論

解答 解：設λ$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AC}$，則f（λ）=|$\overrightarrow{AP}$-λ$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AP}$-$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{CP}$|，
∵λ$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AC}$，
∴點C在直線AB上，
∴f（λ）的最小值m為點P到AB的距離，
∴m_max=$\frac{4}{3}$，
∴|$\overrightarrow{AB}$|=2$\sqrt{1-（\frac{4}{3}-1）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
故答案為：$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，

點評 本題考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題．