Question

4．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=$\frac{π}{3}$，$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{MC}$，$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{EM}$，$\overrightarrow{BE}$$•\overrightarrow{CE}$=（　　）

• A． $-\frac{9}{16}$
• B． $\frac{9}{16}$
• C． $-\frac{7}{16}$
• D． $\frac{7}{16}$

Answer 1

分析 根據平面向量數量積的定義進行轉化求解即可．

解答 解：$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BM}$+$\overrightarrow{ME}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）-$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{CE}$=$\overrightarrow{CM}$+$\overrightarrow{ME}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AM}$=-$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）-$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{BE}$$•\overrightarrow{CE}$=（-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$）（$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$）=-$\frac{3}{16}$${\overrightarrow{A{B}^{\;}}}^{2}$-$\frac{3}{16}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$+$\frac{5}{8}$$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$
=-$\frac{3}{16}$（4+9）+$\frac{5}{8}$×2×3×$\frac{1}{2}$=-$\frac{9}{16}$，
故選：A

點評 本題主要考查向量數量積的應用，根據向量共線的基本定義以及向量加法和加法的運算法則進行轉化是解決本題的關鍵．