Question

16．在某城市氣象部門的數據中，隨機抽取了100天的空氣質量指數的監測數據如表：

空氣質量指數t	（0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200]	（200，300]	（300，+∞）
質量等級	優	良	輕微污染	輕度污染	中度污染	嚴重污染
天數K	5	23	22	25	15	10

（1）在該城市各醫院每天收治上呼吸道病癥總人數y與當天的空氣質量t（t取整數）存在如下關系y=$\left\{\begin{array}{l}t，t≤100\\ 2t-100，100＜t≤300\end{array}$，且當t＞300時，y＞500估計在某一醫院收治此類病癥人數超過200人的概率；
（2）若在（1）中，當t＞300時，y與t的關系擬合于曲線$\hat y=a+blnt$，現已取出了10對樣本數據（t_i，y_i）（i=1，2，3，…，10），且$\sum_{i=1}^{10}{ln{t_i}}=70，\sum_{i=1}^{10}{y_i}=6000，\sum_{i=1}^{10}{{y_i}ln{t_i}}$=42500，${\sum_{i=1}^{10}{（{ln{t_i}}）}^2}$=500，求擬合曲線方程．
（附：線性回歸方程$\widehat{y}$=a+bx中，b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-{n}_{x}^{-}{•}_{y}^{-}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-{{n}_{x}^{-}}^{2}}$，a=$\widehat{y}$-b$\widehat{x}$）

Answer 1

分析 （1）令y＞200解出t的取值范圍，根據頻數分布表計算此范圍內的頻率，則此頻率近似等于所求的概率；
（2）令x=lnt，利用回歸系數公式求出y關于x的回歸方程，再得出y關于t的擬合曲線．

解答 解：（1）令y＞200得2t-100＞200，解得t＞150，
∴當t＞150時，病人數超過200人．
由頻數分布表可知100天內空氣指數t＞150的天數為25+15+10=50．
∴病人數超過200人的概率P=$\frac{50}{100}$=$\frac{1}{2}$．
（2）令x=lnt，則y與x線性相關，$\overline{x}$=7，$\overline{y}$=600，
∴b=$\frac{42500-10×7×600}{500-10×49}$=50，a=600-50×7=250．
∴擬合曲線方程為y=50x+250=50lnt+250．

點評 本題考查了用樣本的頻率估計概率，可化為線性相關的回歸方程的求解，屬于中檔題．