Question

11．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，圓O：x²+y²=a²與y軸正半軸交于點B，過點B的直線與橢圓E相切，且與圓O交于另一點A，若∠AOB=60°，則橢圓E的離心率為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 由等邊三角形可得|AB|=a，設直線AB的方程為y=kx+a（k＞0），求得圓心到直線的距離，由圓的弦長公式可得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，聯立橢圓方程，運用相切的條件：判別式為0，化簡整理，由離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：由∠AOB=60°，可得△ABO為等邊三角形，即|AB|=a，
設直線AB的方程為y=kx+a（k＞0），
圓心到直線的距離為d=$\frac{|a|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，弦長|AB|=a=2$\sqrt{{a}^{2}-\frac{{a}^{2}}{1+{k}^{2}}}$，
解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
可得直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+a，代入橢圓方程b²x²+a²y²=a²b²，
可得（b²+$\frac{1}{3}$a²）x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a³x+a⁴-a²b²=0，
由直線和橢圓相切，可得：△=$\frac{4}{3}$a⁶-4（b²+$\frac{1}{3}$a²）（a⁴-a²b²）=0，
化簡可得b²=$\frac{2}{3}$a²，
由b²=a²-c²，可得c²=$\frac{1}{3}$a²，
即有e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運用直線和圓相交的弦長公式，聯立直線和橢圓方程，由相切的條件：判別式為0，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．