Question

20．已知向量$\overrightarrow a=（{cosx，-\sqrt{3}cosx}），\overrightarrow b=（{sin（{x+\frac{π}{3}}），cosx}）$，函數$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求函數f（x）的單調遞減區間；
（2）若$f（{\frac{α}{2}}）=\frac{5}{26}+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，且α為第一象限角，求cosα的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量數量積以及兩角和與差的三角函數化簡函數的解析式，通過正弦函數的單調性求解即可．
（2）利用已知條件求解$sin（{α-\frac{π}{3}}）=\frac{5}{13}$，判斷相位的范圍，利用兩角和與差的余弦函數化簡求解即可．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow a=（{cosx，-\sqrt{3}cosx}），\overrightarrow b=（{sin（{x+\frac{π}{3}}），cosx}）$，函數$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
$f（x）=cosxsin（{x+\frac{π}{3}}）-\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
=$cosx（{\frac{1}{2}sinx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx}）-\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
=$\frac{1}{2}sinxcosx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
=$\frac{1}{4}sin2x-\frac{{\sqrt{3}}}{4}cos2x+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
=$\frac{1}{2}sin（{2x-\frac{π}{3}}）+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$…（3分）
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ，k∈Z$…（4分）
得$\frac{5π}{12}+kπ≤x≤\frac{11π}{12}+kπ，k∈Z$
所以函數f（x）的單調減區間為$[\frac{5π}{12}+kπ，\frac{11π}{12}+kπ]，k∈Z$．     …（5分）
（2）由$f（\frac{α}{2}）=\frac{1}{2}sin（α-\frac{π}{3}）+\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{5}{26}+\frac{\sqrt{3}}{4}$，得$sin（{α-\frac{π}{3}}）=\frac{5}{13}$…（6分）
由α是第一象限角，得$2kπ＜α＜\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，
所以$-\frac{π}{3}+2kπ＜α-\frac{π}{3}＜\frac{π}{6}+2kπ，k∈Z$
所以$cos（{α-\frac{π}{3}}）=\sqrt{1-si{n^2}（{α-\frac{π}{3}}）}=\frac{12}{13}$…（8分）
所以$cosα=cos[{（{α-\frac{π}{3}}）+\frac{π}{3}}]=cos（{α-\frac{π}{3}}）cos\frac{π}{3}-sin（{α-\frac{π}{3}}）sin\frac{π}{3}$
=$\frac{12}{13}×\frac{1}{2}-\frac{5}{13}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{12-5\sqrt{3}}}{26}$．…（10分）

點評 本題考查向量的數量積的應用，兩角和與差的三角函數以及函數的單調性的判斷，考查計算能力．