Question

8．在△ABC中，邊AB，AC所在直線的方程分別為2x-y+7=0，x-y+6=0，已知M（1，6）是BC邊上一點．
（1）若AM為BC邊上的高，求直線BC的方程；
（2）若AM為BC邊的中線，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）分別求出A的坐標以及BC的斜率，代入直線方程即可；
（2）輸出B的坐標，表示出C的坐標，得到方程組，求出B、A、M的坐標，結合點到直線的距離公式求出AM的值，求出三角形的面積即可．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}2x-y+7=0\\ x-y+6=0\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=5\end{array}\right.$，即A（-1，5），
又M（1，6），所以${k_{AM}}=\frac{6-5}{1-（-1）}=\frac{1}{2}$，
因為AM為BC邊上的高，所以k_BC=-2，
M（1，6）為BC邊上一點，
所以l_BC：y-6=-2（x-1），
所以直線BC的方程為2x+y-8=0．         
（2）設點B的坐標為（a，b），由M（1，6）為BC的中點，
得點C的坐標為（2-a，12-b），
又點B與點C分別在直線AB和AC上，
所以$\left\{\begin{array}{l}{2a-b+7=0}\\{（2-a）-（12-b）+6=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=1}\end{array}\right.$，
所以點B的坐標為（-3，1），
由（1）得A（-1，5），又M（1，6），
所以直線AM的方程為x-2y+11=0，
所以點B到直線AM的距離$d=\frac{{|{-3-2×1+11}|}}{{\sqrt{{1^2}+{{（-2）}^2}}}}=\frac{{6\sqrt{5}}}{5}$，
又$|{AM}|=\sqrt{{{（-1-1）}^2}+{{（5-6）}^2}}=\sqrt{5}$，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$d|AM|=$\frac{1}{2}$×$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$=3，
又M為BC的中點
所以S_△ABC=2S_△BAM=2×3=6．

點評 本題考查了求直線方程問題，考查點到直線的距離以及三角形的面積公式，是一道中檔題．