Question

20．設函數f（x）是定義在R上的偶函數，f'（x）為其導函數．當x＞0時，f（x）+x•f′（x）＞0，且f（1）=0，則不等式x•f（x）＞0的解集為（　�。�

• A． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• B． （-∞，-1）∪（0，1）
• C． （-1，0）∪（0，1）
• D． （-1，0）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 由題意可得函數g（x）=xf（x）是R上的奇函數，畫出函數g（x）=xf（x）的單調性的示意圖，數形結合求得不等式x•f（x）＞0的解集．

解答 解：∵（x•f（x））′=f（x）+x•f′（x）＞0，
故函數g（x）=xf（x）在（0，+∞）上單調遞增．
再根據函數f（x）是定義在R上的偶函數，
可得函數g（x）=xf（x）是R上的奇函數，
故函數g（x）=xf（x）是R上的奇函數，
故函數g（x）=xf（x）在（-∞，0）上單調遞增．
∵f（1）=0，∴f（-1）=0，
故函數y=xf（x）的單調性的示意圖，如圖所示：
由不等式x•f（x）＞0，
可得 x與f（x）同時為正數或同時為負數，∴x＞1，或-1＜x＜0，
故不等式x•f（x）＞0的解集為：（-1，0）∪（1，+∞），
故選：D．

點評 本題主要考查函數的奇偶性的性質，函數的導數與單調性的關系，屬于中檔題．