Question

12．已知數列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，且a_n+1=2a_n+3a_n-1（n≥2）．
（1）設b_n=a_n+1+a_n，證明{b_n}是等比數列．
（2）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）a_n+1=2a_n+3a_n-1（n≥2）．可得到a_n+1+a_n=3（a_n+a_n-1），問題得以證明，
（2）通過a_n+1=2a_n+3a_n-1（n≥2）．變形為a_n+1+λa_n=m（a_n+λa_n-1）形式計算可求．

解答 解：（1）∵數列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，且a_n+1=2a_n+3a_n-1（n≥2）
∴a_n+1+a_n=3（a_n+a_n-1），
又a₂+a₁=5，
∴{a_n+1+a_n}是首項為5，公比為3的等比數列，
∵b_n=a_n+1+a_n，
∴{b_n}是等比數列，
（2）由（1）可得a_n+1+a_n=5×3^n-1，①
∵a_n+1=2a_n+3a_n-1，
∴a_n+1-3a_n=-（a_n-3a_n-1），
又∵a₂-3a₁=3-3×2=-3，
∴數列{a_n+1-3a_n}是以-3為首項、-1為公比的等比數列，
∴a_n+1-3a_n=-3•（-1）^n-1，②
由①②可得a_n=$\frac{1}{4}$（5×3^n-1+3×（-1）^n-1）

點評 本題考查數列的通項，對表達式的靈活變形是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題