Question

3．如圖，點P是拋物線y²=4x上動點，F為拋物線的焦點，將向量$\overrightarrow{FP}$繞點F按順時針方向旋轉90°到$\overrightarrow{FQ}$
（Ⅰ）求Q點的軌跡C的普通方程；
（Ⅱ）過F傾斜角等于$\frac{π}{4}$的直線l與曲線C交于A、B兩點，求|FA|+|FB|的值．

Answer 1

分析 （I）設Q（x，y），P（a，b），則$\frac{b}{a-1}•\frac{y}{x-1}$=-1，（a-1）²+b²=（x-1）²+y²，b=x-1，a=-（y-1），即可求Q點的軌跡C的普通方程；
（Ⅱ）設A，B對應的參數分別為t₁，t₂，聯立方程求出結合|FA|+|FB|=|t₁|+|t₂|，進行計算即可．

解答 解：（I）設Q（x，y），P（a，b），
則$\frac{b}{a-1}•\frac{y}{x-1}$=-1，（a-1）²+b²=（x-1）²+y²，
∴b=x-1，a=-（y-1），
∵b²=4a，
∴（x-1）²=-4（y-1）
（II）過F傾斜角等于$\frac{π}{4}$的直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，
設A，B對應的參數分別為t₁，t₂，把直線的參數方程代入曲線方程得t²+4$\sqrt{2}$t-8=0，
則t₁+t₂=-4$\sqrt{2}$，t₁t₂=-8，
∴t₁＞0，t₂＜0，
則|FA|+|FB|=|t₁|+|t₂|=$\sqrt{32+32}$=8．

點評 本題主要考查軌跡方程，考查直線參數方程的運用，屬于中檔題．