Question

15．已知函數y=sinx（x∈[0，π]）圖象上兩個點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）滿足AB∥x軸，O是坐標原點，若點C的坐標為（π，0），則四邊形OABC的面積最大時，tanx₁-x₂=0．

Answer 1

分析 根據題意，求出四邊形OABC的面積S_{四邊形OABC}取最大值時x₁+tanx₁=π，再由y₁=y₂，得出A與B關于x=$\frac{π}{2}$對稱，x₂+x₁=π，即可得出tanx₁-x₂=0．

解答 解：∵x∈[0，π]，
∴y₁=y₂＞0，
∴S_梯形OABC=$\frac{1}{2}$（AB+OC）•y₁
=$\frac{1}{2}$[（x₂-x₁）+π]•sinx₁，
∵A與B關于x=$\frac{π}{2}$對稱，∴$\frac{1}{2}$（x₂+x₁）=$\frac{π}{2}$，
∴x₂=π-x₁，
∴S_梯形=（π-x₁）sinx₁，x₁∈（0，$\frac{π}{2}$），
令y=（π-x）sinx，
∴y′=-sinx+（π-x）cosx=0，
∴tanx=π-x，
∴tanx+x=π，
∴y的最大值處有tanx+x=π，
∴x₁+tanx₁=π，
∴tanx₁-x₂=（π-x₁）-（π-x₁）=0．
故答案為：0．

點評 本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，也考查了四邊形面積的計算問題，是較難的題目．