Question

10．已知a，b，c分別是△ABC的內角A，B．C所對的邊，點M為△ABC的重心．若a$\overrightarrow{MA}$+b$\overrightarrow{MB}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$c$\overrightarrow{MC}$=0，則C=（　　）

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{5π}{6}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 由三角形重心的結論，求得三角形三邊之間的關系，利用余弦定理，即可求得C．

解答 解：∵點M為△ABC的重心，則$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}$，
∵a$\overrightarrow{MA}$+b$\overrightarrow{MB}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$c$\overrightarrow{MC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$a（-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}）+b\overrightarrow{MB}+\frac{\sqrt{3}}{3}c\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$，
即$（b-a）\overrightarrow{MB}+（\frac{\sqrt{3}}{3}c-a）\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$．
∵$\overrightarrow{MB}$與$\overrightarrow{MC}$不共線，∴b-a=0，$\frac{\sqrt{3}}{3}c-a=0$．
得a：b：$\frac{\sqrt{3}}{3}$c=1：1：1．
令a=1，b=1，c=$\sqrt{3}$，
利用余弦定理可得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\frac{1+1-3}{2×1×1}=-\frac{1}{2}$．
∴C=$\frac{2π}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查向量知識，考查余弦定理的運用，求得三角形三邊之間的關系是關鍵，是中檔題．