Question

20．如圖，已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，側棱AA₁⊥底面ABCD，M是AC的中點，∠BAD=120°，AA₁=AB．
（1）證明：MD₁∥平面A₁BC₁；
（2）求直線MA₁與平面A₁BC₁所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連接B₁D₁交A₁C₁于點E，連接BE，BD，可證明四邊形ED₁MB是平行四邊形，從而MD₁∥BE，從而MD₁∥平面A₁BC₁；
（2）證明平面BB₁D₁D⊥平面BC₁A₁，作出線面角，求出相關線段的長度即可求解．

解答 （1）證明：連接B₁D₁交A₁C₁于點E，連接BE，BD，
∵ABCD為菱形，∴M是BD的中點，
∴ED₁∥BM，ED₁=BM，
∴四邊形ED₁MB是平行四邊形，
∴MD₁∥BE，又MD₁?平面A₁BC₁，BE?平面A₁BC₁，
∴MD₁∥平面BC₁A₁．
（2）解：∵A₁B₁C₁D₁為菱形，∴A₁C₁⊥B₁D₁，
又∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，∴A₁C₁⊥BB₁，
∴A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，又A₁C₁?平面A₁BC₁，
∴平面BB₁D₁D⊥平面BC₁A₁，
過點M作平面BB₁D₁D和平面BC₁A₁交線BE的垂線，垂足為H，
則MH⊥平面BC₁A₁，
連接HA₁，則∠MA₁H是直線MA₁平面BC₁A₁所成的角，
設AA₁=1，∵ABCD是菱形且∠BAD=120°，則$AM=\frac{1}{2}$，$MB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴MA₁=$\sqrt{M{A}^{2}+A{{A}_{1}}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∵ME=AA₁=1，∴BE=$\sqrt{M{B}^{2}+M{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴MH=$\frac{MB•ME}{BE}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴$sin∠M{A_1}H=\frac{MH}{{M{A_1}}}=\frac{{2\sqrt{105}}}{35}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定與線面角的計算，屬于中檔題．