Question

5．過曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點F作曲線C₂：x²+y²=a²的切線，設切點為M，延長FM交曲線C₃：y²=2px（p＞0）于點N，其中曲線C₁與C₃有一個共同的焦點，若OF=ON（O為坐標原點），則曲線C₁的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• C． $\sqrt{5}$+1
• D． $\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 雙曲線的右焦點的坐標為（c，0），利用O為FF'的中點，M為FN的中點，可得OM為△NFF'的中位線，從而可求|NF|，再設N（x，y） 過點F作x軸的垂線，由勾股定理得出關于a，c的關系式，最后即可求得離心率．

解答 解：設雙曲線的右焦點為F'，則F'的坐標為（c，0）
由曲線C₁與C₃有一個共同的焦點，則y²=4cx，
由O為FF'的中點，M為FN的中點，則OM為△NFF'的中位線，
∴OM∥PF'，
由|OM|=a，則|NF'|=2a，
又NF'⊥NF，|FF'|=2c
∴|NF|=2b，
設N（x，y），則由拋物線的定義可得x+c=2a，
∴x=2a-c，
過點F作x軸的垂線，點N到該垂線的距離為2a
由勾股定理 y²+4a²=4b²，即4c（2a-c）+4a²=4（c²-a²）
得e²-e-1=0，
∴e=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故選A．

點評 本題主要考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，考查拋物線的定義，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，屬于中檔題．