Question

16．在標有“甲”的袋中有4個紅球和3個白球，這些球除顏色外完全相同．
（Ⅰ）若從袋中依次取出3個球，求在第一次取到紅球的條件下，后兩次均取到白球的概率；
（Ⅱ）現從甲袋中取出個2紅球，1個白球，裝入標有“乙”的空袋．若從甲袋中任取2球，乙袋中任取1球，記取出的紅球的個數為X，求X的分布列和數學期望EX．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用條件概率公式計算所求的概率值；
（Ⅱ）由題意知X的所有可能取值，計算對應的概率值，
寫出隨機變量X的分布列，計算數學期望值．

解答 解：（Ⅰ）記“第一次取到紅球”為事件A，“后兩次均取到白球”為事件B，
則$P（A）=\frac{4}{7}$，$P（{AB}）=\frac{4×3×2}{7×6×5}=\frac{4}{35}$；
所以，“第一次取到紅球的條件下，后兩次均取到白球的概率”為
$P（{B|A}）=\frac{{P（{AB}）}}{P（A）}=\frac{1}{5}$；…（4分）
（或$P（{B|A}）=\frac{C_3^1C_2^1}{C_6^1C_5^1}=\frac{1}{5}$）    …（4分）
（Ⅱ）X的所有可能取值為0，1，2，3；   …（5分）
則$P（X=0）=\frac{C_2^2}{C_4^2}•\frac{C_1^1}{C_3^1}=\frac{1}{18}$，
$P（X=1）=\frac{C_2^1C_2^1}{C_4^2}•\frac{C_1^1}{C_3^1}+\frac{C_2^2}{C_4^2}•\frac{C_2^1}{C_3^1}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$，
$P（X=2）=\frac{C_2^2}{C_4^2}•\frac{C_1^1}{C_3^1}+\frac{C_2^1C_2^1}{C_4^2}•\frac{C_2^1}{C_3^1}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2}$，
$P（X=3）=\frac{C_2^2}{C_4^2}•\frac{C_2^1}{C_3^1}=\frac{2}{18}=\frac{1}{9}$；         …（9分）
所以隨機變量X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{18}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{9}$

…（10分）
數學期望為$EX=0×\frac{1}{18}+1×\frac{1}{3}+2×\frac{1}{2}+3×\frac{1}{9}=\frac{5}{3}$．…（12分）

點評 本題考查了條件概率與離散型隨機變量的分布列和數學期望問題，是中檔題．