Question

4．在直角坐標系xOy中，圓C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\ y=2+2sinφ\end{array}\right.$（φ為參數），以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．
（Ⅰ）求圓C的普通方程；
（Ⅱ）直線l的極坐標方程是$2ρsin（{θ+\frac{π}{6}}）=5\sqrt{3}$，射線$OM：θ=\frac{π}{6}$與圓C的交點為O、P，與直線l的交點為Q，求線段PQ的長．

Answer 1

分析 （I）由圓C的參數方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=2+2sinφ}\end{array}}\right.$（φ為參數）知，利用平方關系可得圓C的普通方程．
（II）將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入x²+（y-2）²=4．得圓C的極坐標方程為ρ=4sinθ．
設P（ρ₁，θ₁），代入$\left\{{\begin{array}{l}{ρ=4sinθ}\\{θ=\frac{π}{6}}\end{array}}\right.$，解得ρ₁，θ₁．設Q（ρ₂，θ₂），代入$\left\{{\begin{array}{l}{2ρsin（θ+\frac{π}{6}）=5\sqrt{3}}\\{θ=\frac{π}{6}}\end{array}}\right.$，解得ρ₂，θ₂．利用|PQ|=|ρ₁-ρ₂|即可得出．

解答 解：（I）由圓C的參數方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=2+2sinφ}\end{array}}\right.$（φ為參數）知，圓C的圓心為（0，2），
半徑為2，圓C的普通方程為x²+（y-2）²=4．…（4分）
（II）將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入x²+（y-2）²=4．
得圓C的極坐標方程為ρ=4sinθ．…（5分）
設P（ρ₁，θ₁），則由$\left\{{\begin{array}{l}{ρ=4sinθ}\\{θ=\frac{π}{6}}\end{array}}\right.$，解得${ρ_1}=2，{θ_1}=\frac{π}{6}$．…（7分）
設Q（ρ₂，θ₂），則由$\left\{{\begin{array}{l}{2ρsin（θ+\frac{π}{6}）=5\sqrt{3}}\\{θ=\frac{π}{6}}\end{array}}\right.$，解得ρ₂=5，θ₂=$\frac{π}{6}$．
所以|PQ|=|ρ₁-ρ₂|=3．…（10分）

點評 本題考查了直線的參數方程及其應用、極坐標方程化為直角坐標方程及其應用、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．