Question

7．已知非零向量$\overrightarrow a，\vec b$滿足$|\overrightarrow a|=2|\vec b|$且$（\overrightarrow a+\vec b）⊥\vec b$，則向量$\overrightarrow a，\vec b$的夾角為$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 直接由向量垂直可得數量積為0，代入$|\overrightarrow a|=2|\vec b|$，得cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=-$\frac{1}{2}$．則向量$\overrightarrow a，\vec b$的夾角可求．

解答 解：∵$|\overrightarrow a|=2|\vec b|$，且$（\overrightarrow a+\vec b）⊥\vec b$，
∴$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}=0$，
即$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|•cos$＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞+$|\overrightarrow{b}{|}^{2}=0$，
則2$|\overrightarrow{b}{|}^{2}$cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞+$|\overrightarrow{b}{|}^{2}=0$，
得cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=-$\frac{1}{2}$．
∴向量$\overrightarrow a，\vec b$的夾角為$\frac{2π}{3}$．
故答案為：$\frac{2π}{3}$．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查由數量積求向量的夾角，是中檔題．