Question

1．如圖所示，在南海上有兩座燈塔A，B，這兩座燈座之間的距離為60千米，有個貨船從島P處出發前往距離120千米島Q處，行駛至一半路程時剛好到達M處，恰好M處在燈塔A的正南方，也正好在燈塔B的正西方，向量$\overrightarrow{PQ}⊥\overrightarrow{BA}$，則$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BP}$=-3600．

Answer 1

分析 建立坐標系，設出A，B的坐標，用A，B的坐標表示出P，Q的坐標，從而得出答案．

解答 解：以M為原點，以MB，MA為坐標軸建立平面坐標系，設B（a，0），A（0，b），
則直線AB的斜率k=-$\frac{b}{a}$，
∵PQ⊥AB，∴直線PQ的斜率為$\frac{a}{b}$．
∴直線PQ的方程為y=$\frac{a}{b}x$，
設P（m，$\frac{a}{b}m$），∵M是PQ的中點，∴Q（-m，-$\frac{a}{b}m$），
∴$\overrightarrow{AQ}$=（-m，-$\frac{a}{b}m$-b），$\overrightarrow{BP}$=（m-a，$\frac{a}{b}m$），
∴$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BP}$=ma-m²-$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}{m}^{2}$-am=-（m²+$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}{m}^{2}$），
∵PM=$\frac{1}{2}$PQ=60，∴m²+$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}{m}^{2}$=3600，
∴$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BP}$=-3600．
故答案為：-3600．

點評 本題考查了平面向量的數量積運算，坐標法是常用方法，屬于中檔題．