Question

11．半徑為1的扇形AOB，∠AOB=120°，M，N分別為半徑OA，OB的中點，P為弧AB上任意一點，則$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$的取值范圍是[$\frac{3}{8}$，$\frac{5}{8}$]．

Answer 1

分析 由題意，設∠POM=θ，將所求用向量$\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{ON}$，$\overrightarrow{OP}$表示，利用向量的數量積公式表示為θ的代數式，利用正弦函數的有界性求范圍．

解答 解：由題意，設∠POM=θ，
則$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=（$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{OP}$）•（$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OP}$）=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{ON}$+$\overrightarrow{OP}$²
=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×cos120°-1×$\frac{1}{2}$cosθ-1×$\frac{1}{2}$cos（120°-θ）+1
=-$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{2}$cosθ-$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}$cosθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ）+1
=$\frac{7}{8}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$cosθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ）
=$\frac{7}{8}$-$\frac{1}{2}$sin（θ+30°），
因為θ∈[0°，120°]，所以θ+30°∈[30°，150°]，
所以sin（θ+30°）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
所以$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$的取值范圍是[$\frac{3}{8}$，$\frac{5}{8}$]．
故答案為：[$\frac{3}{8}$，$\frac{5}{8}$]．

點評 本題考查了向量的數量積運算以及三角函數的恒等變形求范圍；關鍵是將所求用向量的夾角表示，借助于三角函數的有界性求范圍．