Question

2．如圖，在四棱錐E-ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3．
（1）求B到平面CDE的距離
（2）在線段DE上是否存在一點F，使AF∥平面BCE？若存在，求出$\frac{EF}{ED}$的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）說明CD⊥AE，AE⊥ED，推出AE⊥平面CDE，然后求解B到平面CDE的距離．
（2）在線段DE上存在一點F，使AF∥平面BCE，$\frac{EF}{ED}$=$\frac{1}{3}$．設F為線段DE上的一點，且$\frac{EF}{ED}$=$\frac{1}{3}$．過F作FM∥CD交CE于點M，則FM=$\frac{1}{3}CD$，
證明MF$\stackrel{∥}{=}$AB，說明四邊形ABMF是平行四邊形，即可說明AF∥平面BCE．

解答 （1）解：∵CD⊥平面ADE，∴CD⊥AE，又AE⊥ED，ED∩CD=D，∴AE⊥平面CDE，
又AB∥CD，∴B到平面CDE的距離為AE=3$\sqrt{3}$…（6分）
（2）解：在線段DE上存在一點F，使AF∥平面BCE，$\frac{EF}{ED}$=$\frac{1}{3}$．
下面給出證明：設F為線段DE上的一點，且$\frac{EF}{ED}$=$\frac{1}{3}$．
過F作FM∥CD交CE于點M，則FM=$\frac{1}{3}CD$，
∵CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，
∴CD∥AB．又CD=3AB，
∴MF$\stackrel{∥}{=}$AB，
∴四邊形ABMF是平行四邊形，
∴AF∥BM，又AF?平面BCE，BM?平面BCE．
∴AF∥平面BCE．…（12分）

點評 本題考查直線與平面平行，點、線、面距離的求法，考查空間想象能力以及計算能力．