Question

7．設a＜0，（3x²+a）（2x+b）≥0在（a，b）上恒成立，則b-a的最大值為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 若（3x²+a）（2x+b）≥0在（a，b）上恒成立，則3x²+a≥0，2x+b≥0或3x²+a≤0，2x+b≤0，結合一次函數和二次函數的圖象和性質，可得a，b的范圍，進而得到答案．

解答 解：∵（3x²+a）（2x+b）≥0在（a，b）上恒成立，
∴3x²+a≥0，2x+b≥0或3x²+a≤0，2x+b≤0，
①若2x+b≥0在（a，b）上恒成立，則2a+b≥0，即b≥-2a＞0，
此時當x=0時，3x²+a=a≥0不成立，
②若2x+b≤0在（a，b）上恒成立，則2b+b≤0，即b≤0，
若3x²+a≤0在（a，b）上恒成立，則3a²+a≤0，即-$\frac{1}{3}$≤a≤0，
故b-a的最大值為$\frac{1}{3}$，
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查的知識點是恒成立問題，二次函數的圖象和性質，分類討論思想，難度中檔．