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7.已知a>0,a≠1且a3>a2,已知函數f(x)=ax在區間[1,2]上的最大值與最小值之差為2,設函數$g(x)=1-\frac{2}{{{a^x}+1}}$.
(1)判斷函數g(x)的奇偶性;
(2)證明:$g({{x^2}-x+\frac{3}{4}})≥3-2\sqrt{2}$.

分析 (1)由指數函數的單調性,判斷a>1,由最值可得a的方程,解得a=2,進而運用奇偶性的定義,計算g(-x),與g(x)比較,即可判斷g(x)的奇偶性;
(2)判斷g(x)在R上遞增,配方法求出x2-x+$\frac{3}{4}$≥$\frac{1}{2}$,計算即可得證.

解答 解:∵a>0,a≠1,a3>a2,∴a>1,
又y=ax在[1,2]上為增函數,
∴a2-a=2,解得a=2或a=-1(舍去).
∴$g(x)=1-\frac{2}{{{2^x}+1}}=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$.
(1)函數g(x)的定義域為R,
且$g({-x})=\frac{{{2^{-x}}-1}}{{{2^{-x}}+1}}=\frac{{1-{2^x}}}{{{2^x}+1}}=-\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}=-g(x)$,
∴函數g(x)是奇函數.
(2)證明:由復合函數的單調性得函數g(x)在R上單調遞增,
∵${x^2}-x+\frac{3}{4}={({x-\frac{1}{2}})^2}+\frac{1}{2}≥\frac{1}{2}$,
∴$g({{x^2}-x+\frac{3}{4}})≥g({\frac{1}{2}})=3-2\sqrt{2}$.

點評 本題考查函數的奇偶性和單調性的判斷及運用:證明不等式,考查指數函數的單調性及應用,運用定義是解本題的關鍵,考查運算能力,屬于中檔題.

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