Question

12．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，直線l：x-y+1=0交橢圓于A，B兩點，交y軸于C點，若$3\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{BC}$，則橢圓的方程是x²+4y²=1．

Answer 1

分析 橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，故設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4{λ}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}}=1$，λ＞0，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4{λ}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}}=1}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，得5x²+8x+4-4λ²=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8}{5}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4-4{λ}^{2}}{5}$，…①，C（0，1），$3\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{BC}$，可得5x₂=3x₁．…②，把②代入①得λ²

解答 解：∵橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，設a=2λ，（λ＞0），則c=$\sqrt{3}λ$，b=λ，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4{λ}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}}=1$，λ＞0，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4{λ}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}}=1}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，得5x²+8x+4-4λ²=0，
△＞0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8}{5}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4-4{λ}^{2}}{5}$，…①，C（0，1），
∵$3\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{BC}$，∴5x₂=3x₁．…②，把②代入①得λ²=$\frac{1}{4}$，
可得x²+4y²=1．
故答案為：x²+4y²=1．

點評 本題考查了橢圓與直線的位置關系，關鍵是要把向量式轉化為坐標關系，利用韋達定理，屬于中檔題．