Question

3．如圖，在正四棱錐S-ABCD中，E，M，N分別是BC，CD，SC的中點，動點P在線段MN上運動時，下列四個結(jié)論：
①EP⊥AC；
②EP∥BD；
③EP∥面SBD；
④EP⊥面SAC，
其中恒成立的為（　　）

• A． ①③
• B． ③④
• C． ①②
• D． ②③④

Answer 1

分析 如圖所示，連接AC、BD相交于點O，連接EM，EN．
（1）由正四棱錐S-ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，進而得到SO⊥AC．可得AC⊥平面SBD．由已知E，M，N分別是BC，CD，SC的中點，利用三角形的中位線可得EM∥BD，MN∥SD，于是平面EMN∥平面SBD，進而得到AC⊥平面EMN，AC⊥EP．
（2）由異面直線的定義可知：EP與BD是異面直線，因此不可能EP∥BD；
（3）由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，可得EP∥平面SBD；
（4）由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，可用反證法證明：當P與M不重合時，EP與平面SAC不垂直．

解答 解：如圖所示，連接AC、BD相交于點O，連接EM，EN．
對于（1），由正四棱錐S-ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．
∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分別是BC，CD，SC的中點，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，
∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正確．
對于（2），由異面直線的定義可知：EP與BD是異面直線，不可能EP∥BD，因此不正確；
對于（3），由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正確．
對于（4），由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，則EP∥EM，與EP∩EM=E相矛盾，因此當P與M不重合時，EP與平面SAC不垂直．即不正確．
故選：A．

點評 本題考查了空間線面、面面的位置關系判定，屬于中檔題．