Question

3．定義在R上的奇函數f（x），當x∈（-∞，0）時，f（x）=-x²+mx-1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=0有五個不相等的實數解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運用奇函數的定義，設x＞0，則-x＜0，結合f（-x）=-f（x），又f（0）=0，即可得到所求解析式；
（2）由題意可得f（x）=x²+mx+1（x＞0）的圖象與x軸正半軸有兩個不同的交點，運用判別式和韋達定理，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）設x＞0，則-x＜0，∴f（-x）=-x²-mx-1┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（2分）
又f（x）為奇函數，即f（-x）=-f（x），所以，f（x）=x²+mx+1（x＞0），（4分）
又f（0）=0，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（6分）
所以$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+mx+1，\;x＞0\\ 0\;，\;x=0\\-{x^2}+mx-1\;，\;x＜0\end{array}\right.$┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（8分）
（2）由方程f（x）=0有五個不相等的實數解，得y=f（x）的圖象與x軸有五個不同的交點，┉┉┉（9分）
因為f（x）為奇函數，所以函數y=f（x）的圖象關于原點對稱，又f（0）=0，
所以f（x）=x²+mx+1（x＞0）的圖象與x軸正半軸有兩個不同的交點，┉┉┉（10分）
即，方程x²+mx+1=0有兩個不等正根，記兩根分別為x₁，x₂┉┉┉┉┉┉（12分）
$⇒\left\{\begin{array}{l}△={m^2}-4＞0\\{x_1}+{x_2}=-m＞0\\{x_1}•{x_2}=1＞0\end{array}\right.⇒m＜-2$，┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（15分）
所以，所求實數m的取值范圍是m＜-2┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉（16分）

點評 本題考查函數的奇偶性的運用：求解析式，考查方程思想和函數思想轉化，注意運用韋達定理，考查運算能力，屬于中檔題．