Question

已知A、B為拋物線C：y2 = 4x上的兩個動點，點A在第一象限，點B在第四象限l1、l2分別過點A、B且與拋物線C相切，P為l1、l2的交點.

（1）若直線AB過拋物線C的焦點F，求證：動點P在一條定直線上，并求此直線方程；

（2）設C、D為直線l1、l2與直線x = 4的交點，求面積的最小值.

 

Answer 1

（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）設， （），方程為，與拋物線方程聯立，利用直線與拋物線y2 = 4x相切，故，求，故切線的方程。同理可求得切線方程為，聯立得交點，再注意到已知條件直線AB過拋物線C的焦點F，故表示直線AB的方程為，將拋物線焦點代入，得，從而發現點P橫坐標為，故點P在定直線上；（2）列面積關于某個變量的函數關系式，再求函數最小值即可，由已知得，，，故，又高為，故三角形的面積為，再求最小值即可．

（1）設， （）.

易知斜率存在，設為，則方程為.

由得， ①

由直線與拋物線相切，知.

于是，，方程為.

同理，方程為.

聯立、方程可得點坐標為 ，

∵ ，方程為，

過拋物線的焦點.

∴，∴，點P在定直線上.

（2）由（1）知，的坐標分別為，

∴.

∴ .

設（），，

由知，，當且僅當時等號成立.

∴ .

設，則.

∴ 時，；時，.在區間上為減函數；

在區間上為增函數.∴ 時，取最小值.

∴ 當，，

即，時，面積取最小值. 13分

考點：1、直線和拋物線的位置關系；2、函數的最小值.