Question

設函數f（x）=|x-1|+

1

2

|x-3|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）若不等式f（x）≤-3a（x+

1

2

）的解集非空，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）化簡函數的解析式，畫出函數f（x）的圖象，如圖求得點M（

1

3

，2），而點C（3，2），數形結合求得f（x）＞2的解集．
（2）由題意可得，函數f（x）的圖象有一部分在直線y=-3a（x+

1

2

）上，或在直線y=-3a（x+

1

2

）的下方．根據直線y=-3a（x+

1

2

）經過定點N（-

1

2

，0），求得NB的斜率和NC的斜率，NC的斜率較小為

2

7

，令-3a≥

2

7

，求得a的范圍．

解答： 解：（1）函數f（x）=|x-1|+

1

2

|x-3|=

5-3x 2 ，x＜1 1+x 2 ，1≤x＜3 3x-5 2 ，x≥3

，畫出函數f（x）的圖象，如圖
當x＜1時，令f（x）=

5-3x

2

=2，求得x=

1

3

，可得點M（

1

3

，2），而點C（3，2），
∴f（x）＞2的解集為{x|x＜

1

3

，或x＞3}．
（2）由題意可得，不等式f（x）≤-3a（x+

1

2

）有解，
即函數f（x）的圖象有一部分在直線y=-3a（x+

1

2

）上，或在直線y=-3a（x+

1

2

）的下方，
而直線y=-3a（x+

1

2

）經過定點N（-

1

2

，0），NB的斜率為

1-0

1+ 1 2

=

2

3

，NC的斜率為

2-1

3+ 1 2

=

2

7

，

2

3

＞

2

7

．
故當y=-3a（x+

1

2

）的斜率-3a滿足-3a≥

2

7

時，不等式f（x）≤-3a（x+

1

2

）有解，
由此求得a≤-

2

21

．

點評：本題主要考查帶有絕對值的函數，絕對值不等式的解法，體現了等價轉化、數形結合和分類討論的數學思想，屬于中檔題．