Question

某商品在30天內，每件的銷售價格P（元）與時間x天的函數關系是P=

x+20，0＜x≤24且x∈N -x+100，24＜x＜30且x∈N

，該商品的日銷量Q（件）與時間x（天）的函數關系是Q=-x+40（0＜x≤30，x∈N）
（1）求該商品日銷量金額y與時間x的函數關系；
（2）求該商品日銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大的一天是30天中的哪一天？

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用

專題：應用題,函數的性質及應用

分析：（1）由日銷量金額y=銷售價格P×日銷量Q，從而寫出函數關系；
（2）由函數關系式，討論x的取值范圍，從而求最大值及最大值點即可．

解答： 解：（1）由題意，y=P•Q=

(x+20)(-x+40)，0＜x≤24，x∈N (-x+100)(-x+40)，24＜x＜30，x∈N

，
（2）①當0＜x≤24時，
y=（x+20）（-x+40）≤(

x+20-x+40

2

)2=900；
（當且僅當x=10時，等號成立）；
②當24＜x＜30時，
y=（-x+100）（-x+40）=x²-140x+4000，
其在（24，30）上減函數，
故y≤75×15=1125，
綜上所述，當第25天時，
該商品日銷售金額達到最大值，最大值為1125元．

點評：本題考查了實際問題轉化為數學問題的能力及分段函數的最值問題，屬于中檔題．