Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，BD⊥PC，AB=BC=2，AD=CD=

7

，PA=

3

，PC=

15

，∠ABC=120°，G為線段PC上的點．
（1）求證：PA⊥面ABCD；
（2）若G滿足

PG

GC

=

3

2

，求證：PC⊥面BGD．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）先證明BD⊥面PAC．有BD⊥PA，又由由余弦定理得：AC=2

3

從而PA⊥AC，即可證明PA⊥面ABCD；
（2）設點O為AC、BD的交點，由AB=BC，AD=CD，得BD是線段AC的中垂線，所以O為AC的中點，連結OG可證

GC

AC

=

2 15 5

2 3

=

5

5

=

3

15

=

OC

PC

即有△COG∽△CAP，從而由PA⊥AC得PC⊥OG，故可證．

解答： 解：（1）∵BD⊥PC，
又∵AB=BC=2，AD=CD=

7

，設AC與BD的交點為O，則BD是AC的中垂線，故O為AC的中點，且BD⊥AC．
而PC∩AC=C，
∴BD⊥面PAC．
∴BD⊥PA，
∵AB=BC=2，∠ABC=120°，
∴由余弦定理得：AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos120°=12，可得：AC=2

3

，
∴PA²+AC²=3+12=15=PC²，
∴PA⊥AC，
∴PA⊥面ABCD；
（2）設點O為AC、BD的交點，由AB=BC，AD=CD，得BD是線段AC的中垂線，所以O為AC的中點，
連結OG，∴OC=

3

，PC=

15

，AC=2

3

，
∵

PG

GC

=

3

2

，∴GC=

2 15

5

，
∴

GC

AC

=

2 15 5

2 3

=

5

5

=

3

15

=

OC

PC

，
∴△COG∽△CAP，
∵PA⊥AC，
∴PC⊥OG，
又PC⊥BD，
∴PC⊥面BGD．

點評：本題主要考查直線和平面垂直的判定定理的應用，求直線和平面所成的角，空間距離的求法，考查了轉化思想，屬于中檔題．