Question

設公差不為0的等差數列{a_n}的首項為1，且a₂，a₅，a₁₄構成等比數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=

16 (1+an)(5+an) ，n為奇數 15×22n-3，n為偶數

，求數列{b_n}的前2n項和T_2n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）直接根據已知條件，建立等量關系求出數列的通項公式．
（2）利用分類的方法和裂項相消的方法求數列的和．

解答： 解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d（d≠0），
∵a₂，a₅，a₁₄構成等比數列，
∴a22=a₂a₁₄，
即（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
解得d=0（舍去），或d=2．
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）由（Ⅰ）得bn=

4 n(n+2) ，n為奇數 15×22n-3，n為偶數

①當n為奇數時，bn=

4

n(n+2)

=2(

1

n

-

1

n+2

)，
②當n為偶數時，b_n是等比數列，直接利用求和公式求解．
所以T2n=2(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)+15(21+25+…+24n-3)
=2-

2

2n+1

+15×

2(1-16n)

1-16

=24n+1-

2

2n+1

．

點評：本題考查的知識要點：數列通項公式的求法，利用分類法求數列的和，裂項相消法求數列的和．屬于基礎題型．