Question

9．已知函數f（x）=x+lg$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）的定義域是R．
（1）判斷f（x）在R上的單調性，并證明；
（2）若不等式f（m•3^x）+f（3^x-9^x-4）＜0對任意x∈R恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）判斷函數的奇偶性，再證明x＞0的單調性，得出整個單調性；
（2）利用函數的奇偶性和單調性對不等式進行轉化，把恒成立問題轉化為最值問題．

解答 （1）因為函數f（x）的定義域為R，對于函數f（x）定義域內的每一個x，都有
f（-x）=-x+lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}-x$）=-x+lg$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+x}$=-f（x），．
所以，函數f（x）=x+lg$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）是奇函數．--（2分）
設x₁，x₂是（0，+∞）上任意兩個實數，且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）+lg$\frac{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}+{x}_{1}}{\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}+{x}_{2}}$．．
由x₁＜x₂，
得x₁-x₂＜0，lg$\frac{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}+{x}_{1}}{\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}+{x}_{2}}$＜1．
于是f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）=（．
所以函數在（0，+∞）上是增函數，且f（x）＞0，、f（0）=0，
根據奇函數的性質可得f（x）在R上的單調遞增．
（2）f（m•3^x）+f（3^x-9^x-4）＜0  等價于 m•3^x＜-3^x+9^x+4，
即 m＜3^x$+\frac{4}{{3}^{x}}$-1
令t=3^x，設函數g（t）=t+$\frac{4}{t}$-1．
由函數g（t）的單調性可知最小值為3，
∴m＜3．
∴實數m的取值范圍（-∞，3）．

點評 考查了函數單調性的證明和奇偶性，單調性的綜合應用和恒成立問題的轉化思想．