Question

18．已知半徑為$\sqrt{5}$，圓心在直線l₁：x-y+1=0上的圓C與直線l₂：$\sqrt{3}$x-y+1-$\sqrt{3}$=0相交于M，N兩點，且|MN|=$\sqrt{17}$
（1）求圓C的標準方程；
（2）當圓心C的橫、縱坐標均為整數時，若對任意m∈R，直線l₃：mx-y+$\sqrt{a}$+1=0與圓C恒有公共點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意，設C（a，a+1），圓心到直線的距離d=$\frac{|\sqrt{3}a-a-\sqrt{3}|}{2}$=$\sqrt{5-\frac{17}{4}}$，求出a，可得圓C的標準方程；
（2）圓C的標準方程為x²+（y-1）²=5，對任意m∈R，直線l₃：mx-y+$\sqrt{a}$+1=0與圓C恒有公共點，$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$≤$\sqrt{5}$，即可求實數a的取值范圍．

解答 解：（1）由題意，設C（a，a+1），圓心到直線的距離d=$\frac{|\sqrt{3}a-a-\sqrt{3}|}{2}$=$\sqrt{5-\frac{17}{4}}$，
∴a=0或3+$\sqrt{3}$，
∴圓C的標準方程為x²+（y-1）²=5或（x-3-$\sqrt{3}$）²+（y-4-$\sqrt{3}$）²=5；
（2）圓C的標準方程為x²+（y-1）²=5，對任意m∈R，
直線l₃：mx-y+$\sqrt{a}$+1=0與圓C恒有公共點，
∴$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$≤$\sqrt{5}$，
∴0≤a≤5（m²+1），∴0≤a≤5．

點評 本題考查直線圓的位置關系，考查點到直線的距離公式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．