Question

10．已知直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=m+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t$為參數），以坐標原點為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標系，橢圓C的極坐標方程為$5{cos^2}θ+9{sin^2}θ=\frac{45}{ρ^2}$，且直線l經過橢圓C的右焦點F．
（1）求橢圓C的內接矩形PMNQ面積的最大值；
（2）若直線l與橢圓C交于A，B兩點，求|FA|•|FB|的值．

Answer 1

分析 （1）將橢圓的極坐標方程轉化成標準方程，設P點坐標，根據二倍角公式及正弦函數的性質，即可求得橢圓C的內接矩形PMNQ面積的最大值；
（2）將參數方程代入橢圓的標準方程，由韋達定理即可求得${t_1}{t_2}=-\frac{25}{8}$，即可求得|FA|•|FB|的值．

解答 解：（1）橢圓C化為5ρ²cos²θ+9ρ²sin²θ=45，∴5x²+9y²=45，
∴橢圓的標準方程：$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$．設橢圓C的內接矩形PMNQ中，P的坐標為$（{3cosα，\sqrt{5}sinα}）$，
∴${S_{PMNQ}}=|{4×3cosα×\sqrt{5}sinα}|=|{12\sqrt{5}sinαcosα}|=6\sqrt{5}|{sin2α}|≤6\sqrt{5}$．
∴橢圓C的內接矩形PMNQ面積最大值為$6\sqrt{5}$．
（2）由橢圓C的方程$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$，得橢圓C的右焦點F（2，0），由直線l經過右焦點F（2，0），得m=2，
易得直線l的參數方程可化為$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t$為參數），代入到5x²+9y²=45，整理得，8t²+10t-25=0，
∴${t_1}{t_2}=-\frac{25}{8}$，即$|{FA}|•|{FB}|=\frac{25}{8}$．
|FA|•|FB|的值$\frac{25}{8}$．

點評 本題考查橢圓的極坐標與直角坐標的轉化，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，二倍角公式，考查計算能力，屬于中檔題．